PERTEMUAN KE- 10
POKOK BAHASAN FUNGSI LINIER
A. TUJUAN PEMBELAJARAN :
Adapun tujuan pembelajaran yang akan dicapai setelah Anda mempelajari modul ini, secara khusus Anda diharapkan dapat:
1.1. Mencari gradient/kemiringan garis suatu fungsi.
1.2. Menentukan titik potong sumbu (intersept) suatu fungsi linier.
1.3. Menentukan persamaan garis lurus.
1.4. Menentukan dua buah garis lurus apakah berimpit, sejajar, berpotongan atau saling tegak lurus.
B. URAIAN MATERI
FUNGSI LINIER
Fungsi linier adalah suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan (hubungan fungsional) antara suatu variabel dengan variabel lainnya dengan pangkat tertinggi dari variabelnya adalah satu, sehingga membentuk garis lurus dengan kemiringan tertentu (gradient /m).
Bentuk Umum fungsi linier:
y = mx+ c
Dimana
y = variabel terikat (dependent variabel)
m = koefisien arah/slope /gradient/ kemiringan garis.
x = variabel bebas (independent variabel)
c = konstanta
KEMIRINGAN SUATU GARIS (GRADIEN)
Kemiringan (slope) fungsi linier satu variabel yaitu besamya tambahan nilai y untuk setiap tambahan satu unit x dan biasanya dilambangkan dengan huruf m.
Secara geornetri, kerniringan suatu garis lurus adalah tangent (Tg) dari sudut yang dibentuknya terhadap surnbu absis X. Sudut tangent (a) adalah perbandingan antara surnbu vertikal Y dengan surnbu horizontal X.
Sehingga rurnus sudut tangen dapat dituliskan sebagai berikut:
Untuk fungsi linier y =a+ bx, rnaka titik potong fungsi linier terhadap garis y pada saat nilai x = 0 adalah a, sedangkan kerniringan garisnya (rn) =
Adapun bentuk kerniringan garis lurus (rn) ada ernpat rnacarn, yaitu:
a. Kerniringan positif, karena rnenaik dari kiri bawah ke kanan atas sehingga jika nilai x naik/bertarnbah rnaka nilai y juga akan naik/bertarnbah juga.
b. Kerniringan negatif, karena rnenurun dari kiri atas ke kanan bawah. Jika nilai x naik/bertarnbah rnaka nilai y akan rnenurun/berkurang.
c. Kerniringan nol, karena nilai x bertarnbah sedangkan nilai y konstan.
d. Kerniringan tak tentu, nilai x konstan dan nilai y tak tentu.
CARA PEMBENTUKAN FUNGSI LINIER
Ada ernpat rnacarn cara yang dapat diternpuh untuk rnernbentuk sebuah persarnaan linier, rnasing-rnasing berdasarkan ketersediaan data yang diketahui. Keernpat cara yang dirnaksud adalah:
1. Cara Koordinat Lereng/Gradien
Sebuah persarnaan linier dapat dibentuk dari sebuah titik dan suatu lereng (kerniringan/ gradien). Apabila diketahui sebuah titik A dengan koordinat (x1,y1) dan kerniringan/ gradien adalah rn, rnaka rurnus persarnaan liniemya adalah:
(y - y1) = m(x - x1) )
Contoh:
Tentukan persarnaan garis yang rnelalui titik A (2,5) dengan gradien (rn) = 3 !
Jawab:
Persarnaan
(y - y1) = m(x - x1)
y - 5 = 3 (x - 2)
y- 5 = 3x - 6
y = 3x - 1
2. Cara Dwi-Koordinat
Dari 2 (dua) buah titik dapat dibentuk sebuah persarnaan linier yang rnernenuhi kedua titik tersebut. Apabila diketahui dua buah titik A dan B dengan koordinat rnasing-rnasing (x1,y1) dan (x2,y2). Rurnus persarnaan liniemya adalah:
Contoh:
Diketahui titik A (2,8) dan titik B (1,5), Tentukanlah persamaan liniemya!
Penyelesaian:
Diketahui:
Titik A(2,8) maka x1 = 2 dan y1 = 8
Titik B (1,5) maka x1 = 1 dan y1 = 5
Persamaan liniemya:
3. Cara Penggal Lereng
Sebuah persamaan linier dapat pula dibentuk apabila diketahui penggalnya (konstanta) pada salah satu sumbu dan lereng garis (gradien) yang memenuhi persamaan tersebut. Dalam hal ini rumus persamaan liniemya adalah:
y = mx+ c
Dimana:
c = penggal ( konstanta ), m = lereng ( gradien )
Contoh:
Jika diketahui konstanta dan gradien garis dari fungsi linier y = f(x) masing masing adalah 3 dan 0,5. Tentukanlah persamaan liniemya!
Penyelesaian:
Diketahui:
Gradien garis (m) = 3 Konstanta (c) = 0,5
Maka persarnaan liniemya:
y = mx+c
y = O,Sx + 3
4. Cara Dwi-penggal (Titik Potong)
Apabila diketahui penggal garis tersebut pada rnasing-rnasing surnbu, yakni penggal pada surnbu vertikal (ketika x = 0) dan penggal pada surnbu horizontal (ketika y = 0).
Rurnus persarnaan liniemya:
Dirnana:
a= penggal (titik potong) pada surnbu vertikal,
c = penggal (titik potong) pada surnbu horizontal
Contoh:
Jika penggal sebuah garis pada surnbu vertikal dan horizontal rnasing-rnasing 6 dan -3, rnaka persarnaan linier yang rnernenuhi adalah
HUBUNGAN DUA BUAH FUNGSI LINIER
Dua buah garis lurus rnernpunyai 4 rnacarn kernungkinan bentuk hubungan
1. Berhimpit
Apabila persarnaan gans yang satu y rnerupakan kelipatan dari (proporsional terhadap) persarnaan garis yang lain, rnaka dengan dernikian y, = a, + b,x akan
berhirnpit dengan garis y2 = a2 + b2x jika y,= n.y2; a,= n.a2 dan b1= n.b2.
2. Sejajar
Apabila lereng garis yang satu sarna dengan y lereng garis yang lain, rnaka dengan dernikian garis YI = aI + bix ; akan sejajar dengan y2 = a2 + b2x jika bI = b2 dan ar;t a2 (jika aI = a2 kedua garis bukan saja sejajar tetapi juga berirnpit).
3. Berpotongan
Apabila lereng garis yang satu tidak sarna dengan lereng garis yang lain, rnaka dengan dernikian garis YI = aI + bix akan berpotongan dengan y2 = a2 + b2 x; jika bI -t b2.
4. Tegak lurus
Apabila lereng gans yang satu rnerupakan kebalikan dari lereng garis yang lain dengan tanda berlawanan, rnaka dengan dernikian garis YI = aI + bix akan tegak lurus dengan gans y2 = a2 + b2x ; jika bI = -1/b2 atau bI. b2 = -1.
PENGGAMBARAN GRAFIK FUNGSI LINIER
Garnbar dari sebuah fungsi dapat dihasilkan dengan cara rnenghitung koordinat titik-titik yang rnernenuhi persarnaannya, dan kernudian rnernindahkan pasangan-pasangan titik tersebut ke sistern surnbu silang. Dalarn rnenggarnbarkan suatu fungsi terdapat kebiasaan rneletakkan variabel bebas pada surnbu horizontal (absis) dan variabel terikat pada sumbu vertikal (ordinat).
Penggarnbaran fungsi linier paling rnudah dilakukan. Sesuai dengan namanya, setiap fungsi linier akan menghasilkan sebuah garis lurus (kurva linier).
Cara yang termudah untuk menggambar suatu grafik fungsi linier (garis lurus) yang diketahui persamaannya adalah dengan mencari titik potong garis sumbu yang dipotong oleh garis lurus tersebut. Panjang titik potong garis sumbu diukur dari titik pusat sampai titik potong antara garis lurus dengan sumbu-sumbu koordinat. Perpotongan garis dengan sumbu x merupakan suatu titik yang ditentukan oleh pasangan y = 0 pada persamaan garis lurus tersebut. Begitu pula perpotongan garis lurus dengan sumbu y merupakan suatu titik yang ditentukan oleh pasangan x = 0 pada persamaan garis tersebut. Bila kedua titik potong tersebut digambar/dihubungkan, maka garis lurus yang dicari adalah garis yang melalui kedua titik tersebut.
Contoh:
Gambarkan grafik garis dari fungsi linier y = 8 - 2x.
Jawab:
Titik potong garis dengan sumbu X, maka nilai y = 0.
Untuk y = 0 ; substitusikan ke persamaan y = 8 - 2 X
Sehingga:
0 = 8 - 2X
2x = 8
x = 4 ; Jadi titik potongnya (4,0)
Titik potong garis dengan sumbu Y, maka nilai x = 0. Untuk x = 0 ;
substitusikan ke persamaan y = 8 - 2 X
Sehingga:
y = 8 - 2(0)
y = 8 ; Jadi titik potongnya (0,8)
Grafik dari fungsi y = 8 - 2x y
Download Modul .pdf
C. LATIHAN SOAL/TUGAS
1. Bentuklah persarnaan linier yang garisnya rnelalui titik (-1,4) dan (1,0)!
2. Bentuklah persarnaan linier yang garisnya rnelalui titik (-1,3) dan rnernpunyai koefisien arah/kerniringan garis 5.
3. Garnbarkan grafik fungsi linier Y = 10 - 2X.
4. Tentukan persarnaan garis yang rnelewati titik (2,0) dan tegak lurus dengan garis x+ 2y = 7 !
D. DAFTAR PUSTAKA
Bad rudin, R. & Algifari. 2003, Matematika Bisnis, Yogyakarta: BPFE yogyakarta.
Durnairy , 2010. Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi, BPFE , Yogyaka rta.
Danang Sunyoto, Matematika Ekonomi, Ardana, Yogyakarta, 2007.
Kalangi, JB. 2005, Matematika Ekonomi dan Bisnis, Jilid 1. Cetakan kelirna.
Jakarta: Salernba Empat.
Silaen, S.. 2011, Matematika untuk Bisnis dan Ekonomi, Jaka rta: Mitra Wacana Media.
Supranto. J, Matematika untuk Bisnis dan Ekonomi , Universitas Indonesia, Jakarta, 2002.