PERTEMUAN KE- 4 POKOK BAHASAN
PANGKAT, AKAR & LOGARITMA
A. TUJUAN PEMBELAJARAN :
Dengan mempelajari modul ini, Anda diharapkan mampu untuk memahami pengertian perpangkatan, akar logaritma, dan mampu memahami kaidah-kaidah yang berlaku serta penerapannya di dalam ekonomi.
Adapun tujuan pembelajaran yang akan dicapai setelah mempelajari modul ini, Anda diharapkan dapat:
1.1. Mendiskripsikan pangkat, akar dan logaritma.
1.2. Mengidentifikasikan pangkat, akar dan logaritma.
1.3. Menyebutkan kaidah-kaidah yang berlaku dalam perpangkatan, akar dan logaritma.
1.4. Menggunakan kaidah-kaidah pangkat, akar dan logaritma untuk menyelesaikan soal-soal
1.5. Menjelaskan fungsi eksponensial.
B. URAIAN MATERI
PANGKAT, AKAR & LOGARITMA
PANGKAT
Pangkat dari sebuah bilangan adalah suatu indeks yang menunjukan banyaknya perkalian bilangan yang sama secara beruntun. Notasi xa berarti bahwa x harus dikalikan dengan x itu sendiri secara berturut-turut sebanyak a kali.
Notasi pemangkatan sangat berfaedah untuk merumuskan penulisan bentuk perkalian secara ringkas. Sebagai contoh: perkalian bilangan 7 sebanyak 5 kali tak perlu dituliskan dengan lengkap 7 x7 x7 x 7x 7, melainkan cukup diringkas menjadi 75.
Sehingga:
Notasi pernangkatan berfaedah pula untuk rneringkas bilangan bilangan kelipatan perkalian sepuluh yang nilainya sangat besar atau sangat kecil sebagai contoh: bilangan 100.000 dapat diringkas rnenjadi 10⁵ ;
bilangan
atau 0,00001 dapat diringkas rnenjadi 10¯⁵Begitu pula,
1.000.000.000 = 10⁹
5.000.000 .000 = 5. 10⁹
7.500.000.000 = 7,5 . 10⁹
0,000000001= 10¯⁹
0,000000034= 3,4 . 10¯⁸
Pernangkatan sebuah bilangan dan pengoperasian bilangan-bilangan berpangkat rnernatuhi kaidah-kaidah tertentu. Berdasarkan kaidah-kaidah yang segra akan dipaparkan berikut ini, kita dapat pula rnernetik berbagai faedah lain dari notasi pernangkatan.
1. Kaidah Pemangkatan Bilangan
1) Bilangan bukan-nol berpangkat nol adalah 1.
x⁰ = 1 ( x ≠ 0 ) )
Contoh: 3⁰ = 1
2) Bilangan berpangkat satu adalah bilangan itu sendiri.
x¹ = x
Contoh: 3¹ = 3
3) Nol berperangkat sebuah bilangan adalah tetap nol.
0Ｘ = 0
Contoh: 0³ = 0
4) Bilangan berpangkat negatif adalah balikan pengali ( multiplicative inverse ) dari bilangan itu sendiri.
x-a =Contoh:
5) Bilangan berpangkat pecahan adalah akar dari bilanntu sendiri dengan suku pernbagi dalarn pecahan rnenjadi pangkat dari akamya sedangkan suku berbagi rnenjadi pangkat dari bilangan yang
bersangkutan .
6) Bilangan pecahan berpangkat adalah hasil bagi suku-suku berpangkatrnya.
7) Bilangan berpangkat dipangkatkan lagi adalah bilangan berpangkat hasil kali pangkat-pangkatnya.
8) Bilangan dipangkatkan pangkat-pangkat adalah bilangan berpangkat ke hasil pernangkatan pangkatnya.
9)Hasil kali bilangan-bilangan berpangkat yang basisnya sarna adalah bilangan basis berpangkat jurnlah pangkat-pangkatnya.
10) Hasil kali bilangan-bilangan berpangkat yang pangkatnya sarna, tetapi hasilnya berbeda, adalah perkalian basis-basisnya dalarn pangkat yang bersangkutan.
11) Hasil bagi bilangan-bilangan berpangkat yang basisnya sarna adalah bilangan basis berpangkat selisih pangkat-pangkatnya.
12)Hasil bagi bilangan-bilangan berpangkat yang pangkatnya sama, tettapi basisnya berbeda, adalah pembagian basis-basisnya dalam pangkat yang bersangkutan.
Kaidah ke-7 dan ke-8 di atas perlu mendapat perhatian khusus karena sering diselesaikan secara tidak benar. Jika kita kurang teliti, contoh contoh dalam kaidah ke-7 dan ke-8 tersebut bisa salah diselesaikan menjadi
9⁴ ( = 1.296), padahal seharusnya masing-masing adalah 3⁸ dan 3¹⁶ .
Prinsip penyelesaian bilangan yang pangkatnya berpangkat ialah menyelesaikan pangkat-pangkatnya terlebih dahulu.
Kaidah ke-6 identik dengan kaidah ke-12, sementara itu kaidah ke-5 identik dengan kaidah ke-2.
AKAR
Akar merupakan bentuk lain untuk menyatakan bilangan berpangkat. Akar dari sebuah bilangan ialah basis yang memenuhi bilangan tersebut berkenan dengan bilangan pangkat akamya. Berdasarkan konsep pemangkatan kita mengetahui bahwa jika bilangan-bilangan yang sama (misalnya x) dikalikan sejumlah tertentu sebanyak (katakanlah) a kali, maka kita dapat menuliskannya menjadi
xa ; x disebut basis dan a disebut pangkat.
Andaikata xa = m, maka x dapat juga disebut sebagai akar pangkat a dari m,
yang jika dituliskan dalam bentuk akar menjadi
x sebab xa = m; atau dengan perkataan lain:
Secara umum :
Dalam notasi
,, a disebut pangkat dari akar sedangkan m disebut radikan.pangkat 2 dari akar biasanya tidak dicantumkan dalam penulisan,sehingga tanda akar yang dicantumkan pangkat dengan sendirinya harus dibaca dan ditafsirkan sebagai akar berpangkat 2. Jadi, 
Apabila bilangan pangkatnya berupa bilangan genap, maka radikan positif akan menghasilkan dua macam akar: satu positif dan satu lagi negatif. Hal ini selaras dengan kaidah perkalian dalam operasi tanda, bahwa baik bilangan positif maupun bilangan negatif jika berpangkat genap akan menghasilkan bilangan positif.
± 2 dan bukan hanya + 2.
Apabila pangkat akamya genap dan radikannya negatif,hasilnya adalah berupa bilangan khayal.sebagai contoh
adalah bilangan khayal, sebab baik ±3 maupun -3 jika dipangkatkan 2 tidak ada yang menghasilkan -9. Apabila pangkat akamya berupa bilangan ganjil, baik radikan positif maupun radikan negatif hanya akan menghasilkan satu macam akar; radikan positif menghasilkan akar positif,radikan negatif menghasilkan akar negatif.
Seperti halnya dalam pemangkatan, pengakaran bilangan pun mematuhi sejumlah kaidah. Kaidah-kaidah tersebut dirinci dibawah ini.
1. Kaidah Pengakaran Bilangan
1) Akar dari sebuah bilangan adalah basis yang memenuhi bilangan tersebut berkenaan dengan pangkat akarya.
2) Akar dari sebuah bilangan berpangkat adalah bilangan itu sendiri berpangkat pecahan, dengan pangkat dari bilangan bersangkutan rnenjadi suku terbagi sedangkan pangkat dari akar rnenjadi suku pernbagi.
3) Akar dari suatu perkalian bilangan adalah perkalian dari akar-akamya.
4) Akar dari sebuah bilangan pecahan adalah pernbagian dari akar suku sukunya.
5) Kaidah penjurnlahan (pengurangan) bilangan terakar
Bilangan- ilangan terakar hanya dapat ditarnbahkan atau dikurangkan apabila akar-akamya sejenis. Yang dirnaksud dengan akar-akar yang sejenis ialah akar-akar yang pangkat dan radikannya sarna. Jurnlah (selisih) bilangan-bilangan terakar adalah jurnlah/selisih koefisien-koefisiennya terakar.
6) Kaidah perkalian bilangan perkalian terakar
Hasil kali bilangan-bilangan terakar adalah akar dari hasil kali bilangan bilangannya. Perkalian hanya dapat diberlakukan apabila akar-akamya berpangkat sama.
7) Akar ganda dari sebuah bilangan adalah akar pangkat baru dari bilangan bersangkutan; pangkat baru akamya ialah hasil kali pangkat dari akar-akar sebelumnya.
8) Kaidah pembagian bilangan terakar
Hasil bagi bilangan-bilangan terakar adalah akar dari hasil bagi bilangan bilangannya. Pembagian hanya dapat dilakukan apabila akar-akamya berpangkat sama.
Download Modul .pdf
C. LATIHAN SOAL/TUGAS
1. Sederhanakanlah bentuk - bentuk berikut
D. DAFTAR PUSTAKA
Badrudin, R. & Algifari. 2003. Matematika Bisnis. Yogyakarta: BPFE Yogyakarta.
Dumairy, 2010. Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi, BPFE, Yogyakarta.
Danang Sunyoto, Matematika Ekonomi, Ardana, Yogyakarta, 2007.
Kalangi, JB. 2005, Matematika Ekonomi dan Bisnis, Jilid 1. Cetakan kelima.
Jakarta: Salemba Empat.
Silaen, S.. 2011, Matematika untuk Bisnis dan Ekonomi, Jakarta: Mitra Wacana Media.
Supranto. J, Matematika untuk Bisnis dan Ekonomi, Universitas Indonesia, Jakarta, 2002.